Caratteristiche geometriche di figure complesse con Autocad

Scrivo questo articolo perché penso a tutte le volte che ho pensato a sezioni complesse e alle loro proprietà geometriche: infatti per le figure semplici (cerchio, rettangolo…) la cosa è abbastanza facile (basta consultare un qualunque prontuario), mentre per le figure complesse o si scompone la figura in parti semplici di cui sappiamo la soluzione ed effettuiamo la somma delle proprietà geometriche (somma pesata, teorema di Huygens-Steiner…), oppure ci affidiamo ad un programma per computer.

Il problema è che di programmi per computer che effettuano il calcolo delle proprietà geometriche in genere li ho sempre trovati o a pagamento oppure sviluppati in open-source dentro fogli excel, ma che trovo poco pratici per una generalizzazione totale (es: curve, fori…). Tuttavia, esiste un’altra possibilità: Autocad!
Autocad infatti è in grado di calcolare tutte le proprietà inerziali di una REGION tramite il comando massprop (oppure Tools -> Inquiry -> Region/Mass Properties): basterà infatti selezionare la regione che ci interessa per conoscere tutte le varie proprietà inerziali e di massa.
Sono però necessari alcuni accorgimenti:

• il baricentro è riferito all’origine degli assi dell’UCS
• i momenti d’inerzia X ed Y sono riferiti agli assi dell’UCS

Risulta quindi opportuno disegnare la figura convenientemente con gli assi del .dwg, nelle dimensioni che ci interessano per l’output (nella versione 2018 vengono dati anche il baricentro e i momenti d’inerzia rispetto agli assi principali della Region).

COME SI CREA UNA REGION:

Creare una REGION è facile: basta selezionare una polilinea chiusa e fare Draw -> Region (oppure scrivendo direttamente region) e selezionarla.
Ovviamente, è possibile creare delle REGION composte, soprattutto nel caso di fori: affinché si possa ottenere le caratteristiche geometriche in maniera diretta infatti si può utilizzare i comandi per il solid editing, quali UNION, SUBTRACT ed INTERSECT: essi funzionano con le regioni in maniera totalmente analoga ai solidi.

ARMATURA:

Una volta che conosciamo le proprietà della sezione, se essa è omogenea non dobbiamo fare altro, ma ad esempio se è in C.A., dobbiamo armarla: tuttavia trovo sia molto più conveniente non ragionare in termini di armatura su Autocad, ma fare il conto separatamente a mano come masse puntiformi e sommare opportunamente i risultati con quelli della sezione “piena”.

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Tale soluzione descritta qua sopra non è ovviamente implementabile in alcun codice di calcolo, ma serve soprattutto a ricavare velocemente i parametri per un calcolo manuale ad esempio di una trave con sezione complessa o composta.

Indagini sul calcestruzzo in opera

Quando si tratta una struttura già realizzata in calcestruzzo, è sempre necessario valutare le caratteristiche di quest’ultimo in opera, ovvero quello che effettivamente svolge la funzione resistente: questo perché, a differenza della fase di progetto dove si fa necessariamente delle ipotesi sulla futura resistenza del calcestruzzo, è possibile conoscere gli effettivi valori delle varie caratteristiche resistenti che la struttura possiede. In realtà dire effettivi è molto azzardato, visto che il calcestruzzo è un materiale con una variabilità delle caratteristiche resistenti estremamente elevata in funzione della posizione a causa della messa in opera, oltreché ai vari disturbi insitamente presenti nelle prove di misura: si può dire quindi che per valori effettivi si intende una stima puntuale più precisa di quella in fase di progetto.

Al fine di ottenere una stima puntuale più precisa, e di poterne estendere la validità alle varie parti della struttura, occorre pertanto conoscere più a fondo le modalità di prova e i fattori che influenzano il valore finale della prova: a tal fine, è possibile trovare un valido riferimento nel documento V.S.C.A. della Regione Toscana, che descrivono approfonditamente le modalità di prova anche con riferimenti tecnici puntuali. Inoltre, recentemente (settembre 2017) sono state pubblicate dalla Prima Sezione del CSLLPP le Linee Guida per la Valutazione delle Caratteristiche del Calcestruzzo in Opera, che forniscono una panoramica sulle metodologie di valutazione.

A tal fine, metto qui l’appendice della mia tesi di laurea riguardante proprio questo aspetto, che però ignora le ultime Linee Guida poiché antecedente a tale data, che approfondisce, riassume ed integra le considerazioni interne al documento VSCA.

 

 

Parametri meccanici delle murature esistenti – Circolare 617/09

Metto qui a disposizione un foglio Excel con cui poter stimare i parametri meccanici delle murature esistenti secondo la classificazione della Circolare al punto C8A.2. In alcuni casi di LC3, per i moduli di elasticità la Circolare lascia libera scelta all’utente in funzione del numero di prove effettuate, mentre negli altri casi no. I valori sono già al netto dei fattori di confidenza, pronti da essere usati nei calcoli. Come al solito, io ho fatto quanto possibile per non avere errori ma ci possono sempre stare, quindi questo come gli altri fogli sono molto utili per avere un raffronto di cose fatte a mano e viceversa, una sorta di doppio controllo per evitare errori grossolani.

Parametri Meccanici murature esistenti – Protetto

La password del foglio è XYZ per evitare modifiche accidentali.

Frequenze e modi propri di una trave – Problemi di Modellazione (1)

Nell’ambito della dinamica delle strutture, è inevitabile parlare di modi di vibrare, frequenze e periodi: tuttavia, quando si affrontano problemi e strutture semplici, come una trave, sia essa a mensola, semplicemente appoggiata o doppiamente incastrata, l’analisi FEM può portare facilmente a risultati poco realistici. In realtà è più corretto, anziché parlare di strutture semplici, di strutture ove complessivamente non è lecito fare l’assunzione/ipotesi che la maggior parte della massa sia concentrata a determinati livelli come gli impalcati di un edificio: in una trave doppiamente incastrata infatti possiamo invece dire che la massa da eccitare è distribuita lungo lo sviluppo della trave, e si può ricercare in questo caso particolare (come altri semplici) uno sviluppo analitico degli infiniti modi di vibrare e associate forme modali, ma se apriamo SAP2000 e disegnamo una trave, e lanciamo l’analisi… non succede nulla! Non calcola nemmeno il Load Case – MODAL. Ma perché?

La risposta è intrinseca nella formulazione del FEM: ragionando per funzioni di forma, i risultati dell’analisi dipendono dagli spostamenti dei nodi degli elementi frame sotto le varie situazioni. Tuttavia, se abbiamo un solo elemento frame incastrato ai due estremi, questi sono fissi e pertanto non viene nemmeno effettuato il calcolo. Ovviamente non è che SAP2000 non riesce a calcolare una trave doppiamente incastrata e sviscerarne gli aspetti, ma bisogna come sempre sapere cosa si fa: la prima cosa che potrebbe venire a mente sarebbe quella di dividere la trave incastrata in due, ed effettivamente adesso il calcolo parte, visto che adesso vi è il nodo di mezzeria non esternamente vincolato. Però… per quanti modi di vibrare avessimo tentato di trovare, ne troviamo solo tre. Questo cozza con la banalità del fatto che una trave, essendo un sistema continuo, possiede infiniti modi di vibrare, e noi ne troviamo solo 3. Quindi, evidentemente, c’è qualcosa che non va: ma ancora una volta non è il programma a sbagliare, ma noi che, introducendo pochissimi nodi esternamente svincolati, possono essere effettivamente calcolati solo 3 modi di vibrare. Inoltre, se confrontiamo la soluzione analitica in termini di periodo con quella trovata dal SAP… beh, è sballata!

A tal proposito, occorre effettivamente fare una modellazione più accurata: all’aumentare della suddivisione interna della trave, infatti, possiamo giungere a risultati sempre più vicini a quelli analitici, e trovare effettivamente un elevato numero di modi di vibrare: eppure la struttura è sempre la stessa, una trave doppiamente incastrata! Suddividerla in un numero sempre maggiore di elementi equivale grossomodo come operazione a “distribuire” la massa sull’elemento stesso, spalmarla, e pertanto ottenere dei risultati dal modello sempre più rappresentativi del reale comportamento della struttura. Ovviamente, lo stesso approccio non avrebbe molto senso in un edificio classico con impalcati in calcestruzzo, infinitamente rigidi nel loro piano: suddividere in molti elementi i pilastri, o ancor più le travi, non porta assolutamente agli stessi benefici in termini di rappresentatività, e pertanto possiamo lasciare i pilastri e le travi come elementi frame singoli riuscendo comunque ad avere un’approssimazione accettabile dei risultati.

Successivamente, potremmo provare a fare una modellazione con elementi brick, più per curiosità che per effettiva utilità: infatti la trave è in genere ben approssimabile ad un elemento monodimensionale, e lo sforzo maggiore di calcolo non trova una ragione (ovvero approssimazioni migliori) nella pratica. Tuttavia, possono occorrere anche qua dei problemi: infatti risulta molto importante la distribuzione spaziale degli elementi. Una distribuzione, ad esempio in sezione, degli elementi con una rigidezza prevalente in una dimensione rispetto all’altra, può portare a risultati anche qua sballati. Risulta perciò migliore una distribuzione senza direzioni privilegiate, al fine di cogliere meglio il comportamento. Un problema simile può avvenire ad esempio con una sezione quadrata e l’utilizzo degli operatori di meshatura DALL e SURF in CAST3M*: se non vi è un controllo su tale meshatura, DALL può creare dei problemi, senza che vi sia possibilità di accorgersene (a meno ovviamente del controllo umano).

Per approfondire, potete sfogliare l’ottimo libro di Rugarli, Analisi modale ragionata, che fa esempi diversi e argomentati direttamente con i numeri anche in caso di elementi shell. Le formule risolutive per una trave doppiamente incastrata e gli altri casi di carico sono mostrate nell’immagine qua sotto, dove è la massa per unità di lunghezza:

Immagine tratta da Structural Dynamics and Vibration in Practice: An Engineering Handbook – D. Thorby – 2008

Questo piccolo esempio/chiacchierata/mini-riflessione serve a ribadire ancora una volta, specie per chi ha pochissima dimestichezza col FEM, che una buona modellazione è fondamentale per ottenere risultati accettabili, ma che buona modellazione non significa riproduzione della geometria effettiva: ed è per questo motivo che credo che i software BIM non troveranno mai un’applicazione diretta in ambito strutturale, poiché anche la modellazione più banale comporta delle scelte che variano in base alla struttura, e devono essere governate da chi effettivamente sta creando il modello. Il BIM pertanto, con tutte le sue pretese di automatismo, se avesse a disposizione dei supercomputer per ogni cosa potrebbe forse trovare un reale approccio strutturale, ma fino ad allora penso che sia uno strumento utilissimo per pianificare, controllare e governare la progettazione architettonica ed impiantistica, e contemporaneamente aiutare la progettazione strutturale solo in termini di riduzione degli errori fra i vari passaggi negli elaborati, consentendo un flusso progettuale più regolare, ma ancora lontano dall’integrazione strutturale diretta.

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*: CAST3M è un programma agli elementi finiti estremamente avanzato che funziona esclusivamente per riga di comando, più o meno come Code_Aster, ma con un linguaggio proprietario.

Sul rischio sismico e sulle metodologie di stima dell’azione sismica

Con periodicità di frequenza sempre più ridotta si assiste purtroppo, in Italia, ad eventi sismici di media/alta intensità (ma non elevatissima) correlati ad un danneggiamento più o meno esteso, fino al disastroso. Per capire un po’ più nello specifico il fenomeno, andando oltre le parole e l’evidenza fattuale, metto qui a disposizione un capitolo della mia tesi magistrale che nel suo piccolo tenta di dare, con ovvi limiti e senza pretese di compiutezza, un’organicità all’argomento, analizzando il rischio sismico nelle sue tre componenti (pericolosità, vulnerabilità ed esposizione), fino ad arrivare al Sismabonus (D.M. 07/03/2017 n.65) e le considerazioni conclusive sul rischio sismico in Italia e perché questo risulti elevato malgrado la media sismicità del territorio.

Personalmente, nella stesura di questo lavoro, ho constatato come la stima dell’azione sismica risulti (a parer mio) impostata secondo metodi vecchi di decenni, basandosi in gran parte sulla sismologia storica, ovvero su dati opinabili (nel senso che spesso la base di lavoro era costituita da documenti la cui attendibilità variava in base alla sensibilità di chi stimava il documento) riferiti a patrimoni edilizi spesso solo stimati in quanto a seguito di terremoti catastrofici non rimaneva nulla. Sebbene la base teorica di questi metodi trovo sia valida, e per l’epoca di Cornell sia stata decisamente innovativa e molto più sensata degli altri metodi disponibili, non penso che il campione di partenza della sismologia storica possa risultare così efficace da definire con precisione l’azione sismica così come da NTC’08, ma che possa essere invece un’ottimo strumento per guidare ed elaborare modelli geofisici del sottosuolo atti alla stima dei terremoti, su basi oggettive e non soggettive. In tal senso, trovo che il metodo NDSHA (neodeterministico) sia più corretto del PSHA (probabilistico), e che possa trovare una sua ragione all’interno di una norma prestazionale come le NTC, sebbene il metodo probabilistico si inserisca molto più facilmente nell’impostazione degli stati limite: è forse in questo passaggio che non si è ancora concretizzata l’adozione piena di tale metodo per la stima dell’azione sismica, ma a fronte del rischio sismico che investe l’Italia trovo che una migliore stima di tale azione possa tradursi in un minore rischio, non nell’immediato, ma per indirizzare i futuri interventi su tutto il patrimonio esistente, cui prima o poi l’Italia dovrà far fronte, volente o nolente. Chiaramente è solo una parte del problema più ampio del rischio sismico, ma penso sia quella su cui è più facile intervenire, in quanto una vera politica di riduzione del rischio sismico si basa più di tutto su un elemento, ovvero il denaro investito che, come noto, è un elemento difficile da trovare, anche se il recente Sismabonus si è sicuramente mosso in una direzione molto positiva in tal senso, costituendo un ottimo ed importante passo.

File Excel per disegnare sezioni in c.a. (rettangolari o a T)

Metto qui a disposizione un file excel sviluppato per disegnare sezioni in calcestruzzo rettangolari o a T: risulta particolarmente utile se devono essere disegnate molte sezioni, come ad esempio durante un rilievo. Ho preso le macro di Afazio (http://bar-ingegneria.forumfree.it/m/?t=69347956) e le ho semplicemente messe in relazione agli input per una sezione. Spero possa essere utile, anche se lontano dall’essere perfetto. Inoltre, funziona solo con excel a 32 bit per via delle macro, che devono essere attivate.

Per scaricare il file purtroppo bisogna cliccare sul link e poi a destra cercare il pulsantino per il download, questo perché il file possiede delle macro e WordPress non mi permette di allegarlo direttamente come gli altri. 

Disegna_Sezioni_Cls

Glossario quadrilingue dei termini tecnici in Ingegneria ed Architettura

Metto qui a disposizione una rielaborazione Excel di un glossario per l’ingegneria civile reperito in rete e rimesso in forma cercabile. Può essere utile nel caso si debba leggere o studiare una lingua straniera per lavoro: la ricerca è intuitiva, ma non è necessariamente precisa, ed è possibile riordinare manualmente il dizionario ogni volta lingua per lingua e cercare ciò che più è utile. Se avete correzioni o suggerimenti per esso, per voci o altro, scrivete pure un commento qua sotto o mandatemi un’email per renderlo sempre più ricco. La password del file per modificarlo o altro è XYZ, è stato protetto per evitare manomissioni accidentali.

Aggiornamento 14-03-2017: inserite nuove voci, grazie all’aiuto dell’utente reversi e pisanel del forum. Piano piano inserirò sempre più voci, per quanto possibile con i miei impegni.

Glossario quadrilingue di Ingegneria (GER-FRA-ITA-ENG)

 

N.B.: per far funzionare la ricerca libera bisogna che la tabella sottostante sia ordinata secondo “N°” crescente.

L’Acquedotto Mediceo di Asciano – Il caso di studio della Fontina di Pratale

“La città di Pisa ha sempre avuto un rapporto particolare con l’acqua: il suo destino ed il suo aspetto sono sempre stati legati come un doppio filo a questa caratteristica del territorio, declinata in varie forme come sbocco sul mare, come laguna, come pianura, come padule. Non è pertanto possibile scindere un’opera idrica da un’altra, storiograficamente parlando, perché sarebbe una visione troppo parziale e troppo tecnica di un singolo aspetto, quando appare evidente una natura sociale e politica di ogni intervento idrico, posta sempre in essere da uno degli organi più potenti ed antichi di Pisa, l’Ufficio dei Fiumi e Fossi. Si intende perciò, per parlare di una singola opera come l’Acquedotto Mediceo, cercare di dare prima un quadro generale da un punto di vista storico, per poi addentrarsi sempre più nel passato, nelle tecniche costruttive e nelle problematiche storiche fino ad elaborare delle proposte di intervento specifiche sull’Acquedotto stesso per alcune arcate in corrispondenza della via di Pratale. Tale lavoro quindi si è necessariamente focalizzato più sul tracciato su arcate che su altre strutture ugualmente o più interessanti e pregevoli da un punto di vista tecnico-architettonico, come si possono riscontrare nella parte di monte, nelle opere di presa e di distribuzione urbana: tuttavia, il tracciato su archi risulta la parte più riconoscibile, il maggior segno architettonico che l’acquedotto ha tracciato nel territorio pisano, e pertanto trova in tale contesto il suo più grande significato.”

 

ELABORATI PROGETTUALI:

 

Questo piccolo contributo, sviluppato in ambito universitario, si inserisce nel rinnovato interesse della città di Pisa verso uno dei suoi monumenti che sicuramente fanno meno rumore (oggi) da un punto di vista turistico, ma a cui evidentemente le persone si sentono in qualche modo legate, facendo da cordone ombelicale fra la città, la campagna ed i monti, inserendosi in un contesto paesaggistico molto bello quale quello della piana pisana. La sua disponibilità online è fatta in quest’ottica di attenzione, cura e diffusione del materiale storico, al fine di catalizzare l’interesse di più persone. L’acquedotto mediceo è oggetto d’interesse oltre per il Comune di Pisa, anche per il Comitato cittadino “Salviamo l’acquedotto mediceo”, mentre l’opera più completa e recente scritta su tale argomento è senza dubbio il libro dell’architetto Massimo Gasperini “Il principe, la città, l’acqua” edito da ETS (il libro inoltre ha anche il grande pregio di avere immagini di qualità molto elevata, specie per quanto riguarda la documentazione storica) il cui autore principale si interessa attivamente da anni all’acquedotto e alle sue condizioni, proponendo anche progetti per il suo effettivo riutilizzo in forme diverse da quelle originarie.

Infine, si riporta un documento fondamentale del secolo scorso, che probabilmente ha riacceso l’attenzione sull’acquedotto: si tratta delle pagine scritte da Orella Giannessi, nel ’67. Queste pagine, sebbene costituiscano un volumetto pubblicato dal Comune di Pisa, è stato messo online in quanto si pensa che non sia coperto da diritto d’autore. Se così fosse, una segnalazione è gradita.

Andrea Albero – Edoardo Banchieri – Luca Luperini

Progetto di una residenza per anziani a Pisa / Design of a senior home in Pisa

Il progetto si colloca in un’area che costituiva un vuoto urbano entro una zona di espansione,  adibito ad uso agricolo fin dall’800 e in stato di abbandono. L’intorno si caratterizza per l’assenza di spazi pubblici qualificati (quali ad esempio piazze) e con una viabilità prevalentemente a dimensione veicolare. Questi aspetti mal si conciliano con la destinazione d’uso in oggetto, pertanto occorre inserirsi cercando di limare tali aspetti. Una risposta a tale esigenza può provenire dalla tipologia a doppia corte tipica delle strutture conventuali, e diffusa nel vicino centro storico di Pisa. / The project places in an area that constituted an urban void within a zone of expansion, turned to agricultural use since the 800 and in state of abandonment. Around is characterized for the absence of qualified public spaces  (es: squares) and with a vehicular dimension viability. These aspects are in contrast with the project’s use destination, therefore it is necessary to insert being tried to file such aspects. An answer to such demand can originate from the double court tipology, typical of conventual structures, and diffused in the historical center of Pisa.

La progettazione punta alla creazione di uno spazio che possa essere fruito anche dalla collettività, con accesso sia pedonale che carrabile con parcheggio e servizi per il quartiere, quali un presidio bibliotecario, studi medici e un servizio di ristoro, il tutto che si affaccia su una piazza interna.  / The planning aims to create a space that can also be enjoyed by the community, with pedestrian and vehicle access, including a parking and a lot of services for the district, like a library, doctors’ offices  and food service, and everything is overlooking the public square.

Due delle tre ali che s’inseriscono sulla stecca W-E sono riservate agli appartamenti per gli anziani, ognuno predisposto per l’utilizzo da parte di persone con disabilità motorie: queste con il loro volume costituiscono la corte interna privata, movimentata da pieni e vuoti grazie ai balconi, ricreando l’impressione di una strada pedonale simile ad altre presenti nelle adiacenze del lotto, tutto collegato tramite opportuni filtri con l’area ristoro e la piazza pubblica. L’ala più ad Est invece comprende gli altri servizi aperti al pubblico, mentre il secondo piano di tutto il complesso, quando non destinato ad appartamenti, presenta uno spazio polifunzionale, una sala per le attività creative,  una zona lettura, un’infermieria ed una palestra, anche per le attività di riabilitazione motoria quando necessarie. / Two of the three N-S volumes that are inserted on WE volume are reserved for apartments for the elderly, each designed for use by people with motor disabilities: those constitutes the private courtyard, moved by full and voids due to the balconies, creating the impression of a pedestrian street like others found in the vicinity of the lot, all connected via architectural filters with the dining area and the public square. The further east volume instead includes the remaining functions open to the public, while the second floor of the complex, when not intended for flats, presents a multipurpose space, a room for creative activities, a reading area, and un’infermieria a gym, even for the physical rehabilitation activities when necessary.

 

L’equazione dei 3 momenti in Excel

In questo articolo esporrò una variazione alla “classica” forma della nota equazione dei 3 momenti formulata da Clapeyron, che, come sappiamo, in una trave continua su più appoggi rigidi e con è (una delle possibili scritture):

Non espongo la dimostrazione (che si basa sul principio di sovrapposizione degli effetti), in quanto esistono numerosissime risorse in rete che trattano l’argomento, pertanto reputo inutile riproporlo; al massimo, posso segnalarvi un’esposizione chiara qui.

Implementando però questa equazione su Excel con l’intenzione di creare un foglio “generale”, cioè che risulta valido per un numero generico di campate, mi sono trovato in difficoltà: infatti, scrivendo il foglio Excel, se non conosco a priori il numero delle campate, l’equazione implementata in questa forma non funziona, e risulta necessario creare un nuovo foglio per ogni casistica, in quanto conoscendo le condizioni al contorno (condizioni all’inizio e alla fine della travata e numero di campate) posso impostare il problema. Inoltre, volevo evitare di scrivere macro in Excel, in quanto avrebbe comportato il dover imparare VBA per Excel, cosa che ho intenzione di fare in futuro quando avrò più tempo, ma non ora.

Ho tentato quindi di scrivere la sopracitata equazione in maniera “più digeribile” e più facilmente implementabile in un foglio di calcolo, che fosse indipendente dal numero di campate. Ho identificato gli appoggi con lettere progressive, mentre i vari tratti della trave continua con numeri progressivi. Questo per mettere in risalto la numerazione differente degli appoggi da quella dei carichi e delle lunghezze; chiaramente, per fare qualche esempio, . È importante affinché quanto di seguito abbia significato generale che la numerazione non cambi, in quanto alla fine quando propongo la formulazione generale in si deve aver capito tale sistema.

Clicca per ingrandire

Si può notare intanto che sul primo appoggio A conosciamo sempre il valore del momento, che vi sia o meno uno sbalzo (infatti, se lo sbalzo è assente, basterà impostare che , ottenendo così un risultato corretto e contemporaneamente non far “scorrere” la numerazione impostata):

Successivamente, il secondo appoggio B, con opportuni e semplici passaggi matematici, possiamo arrivare a:

Isoliamo quindi il termine relativo al momento in C:

e semplifichiamo il tutto introducendo il nuovo coefficiente

E quindi il momento in B è

Adesso possiamo ripetere passaggi simili per l’appoggio C, ottenendo:

Introduciamo altri due coefficienti

Portando a sinistra tutti i termini per il momento in C e dividendo ambo i membri, si ottiene

Come sopra, creiamo un coefficiente fittizio per il momento in C

E quindi

Procedendo per gli appoggi successivi a C, si nota una sorta di ricorsività nella formula, sempre semplificabile nella forma cui sopra; quindi possiamo scrivere, per gli appoggi successivi a C

Questa struttura dell’equazione dei tre momenti è facilmente implementabile, in quanto è necessario solamente definire cosa succede nei primi due appoggi e l’ultimo affinché la travata sia risolta.

Il problema è così definito per tutti gli appoggi, a prescindere dal loro numero.

Come prevedibile poi, ho implementato quanto sopra in un foglio Excel:

Trave continua 1.00

Ovviamente questo cui sopra è solamente un esempio, e potete costruirvi un foglio Excel sulla sua falsariga ben più complesso, con grafici e quant’altro.

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[1]: L’equazione di Clapeyron è valida anche in travi continue eterogenee ed a sezione variabile, ma ovviamente la formula è diversa. Nel PDF segnalato vi sono tutti i passaggi anche per questo caso.